Question

4．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB=AC．

Answer 1

分析 作DF⊥AB，DE⊥AC，根据三角形的角平分线性质，可得DF=DE，根据“HL”定理，易证Rt△BDE≌Rt△CDF，即可证得．

解答 证明：如图，作DF⊥AB，DE⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠BFD=∠CED=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．