Question

14．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax²+bxy+cy²的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x²项系数a分解成两个因数a₁，a₂的积，即a=a₁•a₂，把y²项系数c分解成两个因数，c₁，c₂的积，即c=c₁•c₂，并使a₁•c₂+a₂•c₁正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax²+bxy+cy²=（a₁x+c₁y）（a₂x+c₂y）
例：分解因式：x²-2xy-8y²
解：如右图，其中1=1×1，-8=（-4）×2，而-2=1×（-4）+1×2∴x²-2xy-8y²=（x-4y）（x+2y）
而对于形如ax²+bxy+cy²+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，
如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；

例：分解因式：x²+2xy-3y²+3x+y+2
解：如图2，其中1=1×1，-3=（-1）×3，2=1×2；
而2=1×3+1×（-1），1=（-1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x²+2xy-3y²+3x+y+2=（x-y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：6x²-7xy+2y²=（2x-y）（3x-2y）x²-6xy+8y²-5x+14y+6=（x-2y-2）（x-4y-3）
（2）若关于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x²+3xy+2y²+2x+4y=-1，求x，y．

Answer 1

分析 （1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）结合题意画出图形，即可得出结论；
（3）将等式左边先用十字相乘法分解因式，再提取公因式，将右边-1改写成1×（-1）的形式，由x、y均为整数可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）如图3，

其中6=2×3，2=（-1）×（-2）；而-7=2×（-3）+3×（-1）；
∴6x²-7xy+2y²=（2x-y）（3x-2y）．
如图4，

其中1×1=1，（-2）×（-4）=8，（-2）×（-3）=6；
而-6=1×（-4）+1×（-2），-5=1×（-3）+1×（-2），14=（-2）×（-3）+（-4）×（-2）；
∴x²-6xy+8y²-5x+14y+6=（x-2y-2）（x-4y-3）．
故答案为：（2x-1）（3x-2）；（x-2y-2）（x-4y-3）．
（2）如图5，

∵关于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在：其中1×1=1，9×（-2）=-18，（-8）×3=-24；
而7=1×（-2）+1×9，-5=1×（-8）+1×3，m=9×3+（-2）×（-8）=43或m=9×（-8）+（-2）×3=-78．
故若关于x，y的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，m的值为43或者-78．
（3）∵x²+3xy+2y²+2x+4y=（x+2y）（x+y）+2（x+2y）=（x+2y）（x+y+2）=-1=1×（-1），且x、y为整数，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x+y+2=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=-1}\\{x+y+2=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-7}\\{y=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$．
故当x=-7时，y=4；当x=-1时，y=0．

点评 本题考查了因式分解中的十字相乘法分解因式，解题的关键是：依照题意找到相应的十字相乘的图形．本题难度不大，（1）（2）小问问题不大，（3）中用到十字相乘法与提取公因式法，再将等式右边-1分解成1×（-1），由x、y均为整数来得出二元一次方程组．