Question

2．已知：等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，∠CAE的角平分线所在的直线交BE于F，连结CF．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°且点D在线段AC上时，求证：AF+EF=FB．（提示：将线段FB拆分成两部分）
（3）①如图3，当∠ABC=45°其点D在线段AC上时，线段AF、EF、FB仍有（2）中的结论吗？若有，加以证明；若没有，则有怎样的数量关系，直接写出答案即可．
②如图4，当∠ABC=45°且点D在CA的延长线时，请你按题意将图形补充完成．并直接写出线段AF、EF、FB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）证△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABE，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF=AF，即可得出答案；
（3）①在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等腰直角三角形，推出MF=$\sqrt{2}$AF，即可得出答案；
②只需在CF上截取CG=BF，先证△AFE≌△AFC，得出CF=EF，再证△ABF≌△ACG，得出△AFG是等腰直角三角形，然后结论显然．

解答 证明：（1）如图1，
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，如图2，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACF}\\{BM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
即AF+EF=FB；
（3）①线段AF、EF、FB不是（2）中的结论，线段AF、EF、FB的数量关系为$\sqrt{2}$AF+EF=FB，理由如下：
在FB上截取BM=CF，连接AM，如图3，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF=BM，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACF}\\{BM=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=90°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等腰直角三角形，
∴MF=$\sqrt{2}$AF，
∴FB=BM+MF=EF+$\sqrt{2}$AF，
即$\sqrt{2}$AF+EF=FB；
②如图4，在CF上截取CG=BF，连接AG，

在△AFE和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFC（SAS），
∴FE=FC，∠FEA=∠FCA，
∵AB=AE，
∴∠ABF=∠AEF=∠ACF，
在△ABF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=CG}\\{∠FBA=∠GCA}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACG（SAS），
∴AG=AF，∠FAB=∠GAC，
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴FAG=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴FG=$\sqrt{2}$AF，
∵CF=CG+GF，
∴CF=BF+$\sqrt{2}$AF，
∴EF=BF+$\sqrt{2}$AF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，难度中等．熟悉各种特殊三角形的性质、全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线是解答的关键．