Question

19．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于O，F是DC延长线上的一点，FA、FB与⊙O分别交于M、G，GO延长线与⊙O交于N．
（1）求证：AB平分∠MAN；
（2）如图（2），若弦CD⊥OB于E，请判断AB是否仍平分∠MAN，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，FE=2CE=6，求线段AN的长．

Answer 1

分析 （1）若证AB平分∠MAN，可证∠FAB=∠NAB，根据题意FC垂直平分AB可得∠FAB=∠FBA，又∠GBA=∠GNA=∠NAB，可得∠FAB=∠NAB；
（2）仍然平分，需证∠FAB=∠NAB，而∠NAB=∠NGB，由图可知∠NGB=∠BFE+∠FEG、∠FAB=∠BAG+∠FAG，显然∠BAG=∠BFE，现在需证∠FAG=∠FEG，这可以由∠AGF=∠AEF=90°知A、E、G、F四点在同一个圆上可得；
（3）由（2）知AB平分∠MAN，求AN的长可转化为求AM，显然Rt△ABM∽Rt△AFE可得AM=$\frac{AB•AE}{AF}$，RT△OCE中可求OE长，进而在RT△AEF中可求出AF的长即可．

解答 解：（1）∵CD⊥OB，且OA=OB，
∴FA=FB，
∴∠FAB=∠FBA，
又∵$\widehat{AG}$所对得圆周角∠GBA=∠GNA，
∴∠FAB=∠GNA，
∵OA=ON，
∴∠GNA=∠NAB，
∴∠FAB=∠NAB，即AB平分∠MAN；
（2）如图，连接AG，

则∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，即A、E、G、F四点在同一个圆上．
∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．
∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，
∴∠BAG=∠BFE．
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．
（3）连接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴AF=3$\sqrt{13}$．
∵AB=10，由Rt△ABM∽Rt△AFE得$\frac{AM}{AE}=\frac{AB}{AF}$，
∴AM=$\frac{AB•AE}{AF}$=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$．
∵AB平分∠MAN，
∴AN=AM=$\frac{30\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查有关圆的综合知识，对圆中的相关定理的掌握及利用有关定理、性质进行角度间的转换比较关键．