Question

已知点A（3，4）、B（n，0）在一次函数y=2x+m的图象上．
（1）分别求m、n的值；
（2）能否在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以点Q、O、A为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m，把B点坐标代入直线解析式可求得n；
（2）存在，可先求得B点关于y轴的对称点B′，连接B′A交y轴于一点P，则该点即为所可，根据A、B′的坐标可求得直线AB′的解析式，可求得P点坐标；
（3）分OA=OQ、OA=AQ和OQ=AQ三种情况，分别根据条件得到关于Q点的坐标的方程，可求得Q点的坐标．

解答：解：（1）∵A点在一次函数图象上，
∴6+m=4，解得m=-2，
∴直线解析式为y=2x-2，
又∵B点在一次函数图象上，
∴2n-2=0，
解得n=1；
（2）由（1）可知B点坐标为（1，0），则其关于y轴的对称点B′为（-1，0），
如图1，连接AB′交y轴于点P，则PA+PB的值最小，
设直线AB′解析式为y=kx+b，
把A、B′两点坐标代入可得

3k+b=4 -k+b=0

，
解得

k=1 b=1

，
∴直线AB′的解析式为y=x+1，
∴P点坐标为（0，1），
即在y轴上存在P点使PA+PB的值最小，其坐标为（0，1）；

（3）由A（3，4）可求得OA=5，
当△OAQ为等腰三角形时，分三种情况：
①当OA=OQ时，则OQ=5，设Q点的坐标为（x，0），则有|x|=5，解得x=5或-5，所以Q点的坐标为（5，0）或（-5，0）；
②当OA=AQ时，过A作AM⊥x轴于点M，如图2，
则OM=MQ=4，所以OQ=2OM=8，则Q点的坐标为（8，0）；

③当OQ=AQ时，设Q坐标为（x，0），过A作AN⊥x轴于点N，如图3，

则OQ=AQ=x，NQ=ON-OQ=|3-x|，且AN=4，
在Rt△ANQ中，由勾股定理可得AQ²=AN²+NQ²，
即x²=4²+（3-x）²，解得x=

25

6

，则Q点的坐标为（

25

6

，0）；
综上可知在x轴上存在点Q使△OAQ为等腰三角形，Q点的坐标为（5，0）或（-5，0）或（8，0）或（

25

6

，0）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用，在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中分三种情况分别得出关于Q点的坐标的方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用，难度不大，属于基础知识的综合．