Question

已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证：BE=AE+CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：把△ABE绕点B顺时针旋转90°，AB与BC重合，再根据条件证明∠GBF=∠BFG可得到BG=GF，可证得结论．

解答：证明：
如图，将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合，
设△BCG是旋转后的△ABE，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG，BE=BG，∠ABE=∠CBG，
∵BF是∠EBC的角平分线，
∴∠EBF=∠FBC，
∴∠ABE+∠EBF=∠GBC+∠FBC，
∴∠ABF=∠FBG，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFG，
∴∠GBF=∠BFG，
∴BG=GF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，BG=BE，
∴BE=AE+CF．

点评：本题主要考查正方形的性质及等腰三角形的判定和性质，把AE和CF移到同一条线段上，再证明该线段与BE相等是解题的关键．证明线段的和差关系时主要就是截或接．