Question

12．如图，点A是双曲线y=-$\frac{9}{x}$在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$上运动，则k的值为3．

Answer 1

分析 连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S_△AOD，得到S_△EOC，求出k的值．

解答 解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴$\frac{AD}{EO}$=$\frac{OD}{CE}$=$\frac{OA}{OC}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△EOC}}$=（$\sqrt{3}$）²=3，
∵点A是双曲线y=-$\frac{9}{x}$在第二象限分支上的一个动点，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$×|xy|=$\frac{9}{2}$，
∴S_△EOC=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$×OE×CE=$\frac{3}{2}$，
∴k=OE×CE=3，
故答案为：3．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．