Question

2．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A（3，1），点B的坐标为（m，-2）．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PDC与△CDO相似？若存在求P点的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式即可；
（3）在y轴上，存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，理由为：过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图所示，根据直线AB解析式确定出C与D坐标，得到OC，OD，DC的长，由三角形PDC与三角形CDO相似，得比例求出PD的长，由DP-OD求出OP的长，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）把A（1，3）代入反比例解析式得：3=$\frac{k}{1}$，即k=3，
则反比例解析式为y=$\frac{3}{x}$；
（2）∵B（m，-2）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$上，
∴-2=$\frac{3}{m}$，即m=-$\frac{3}{2}$，即B（-$\frac{3}{2}$，-2），
把A与B坐标代入一次函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{-\frac{3}{2}a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为y=$\frac{2}{3}$x-1；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，理由为：
过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图所示，

∵C、D两点在直线y=$\frac{2}{3}$x-1上，
∴C、D的坐标分别为C（$\frac{3}{2}$，0），D（0，-1），
∴OC=$\frac{3}{2}$，OD=1，DC=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△PDC∽△CDO，
∴$\frac{PD}{CD}$=$\frac{CD}{DO}$，即$\frac{PD}{\frac{\sqrt{13}}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{1}$，
解得：PD=$\frac{13}{4}$，
∴OP=DP-OD=$\frac{13}{4}$-1=$\frac{9}{4}$，
则点P的坐标为（0，$\frac{9}{4}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，相似三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．