题目内容
3．如图，已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a-5的顶点为D，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=6．（1）求抛物线C1的解析式及顶点D的坐标；
（2）将直线y=-$\frac{1}{3}$x沿y轴向下平移m个单位（m＞0），若平移后的直线与抛物线C1相交于点M、N（点M在点N的左边），且MN=$\sqrt{10}$，求m的值；
（3）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点P旋转180°后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为C，与x轴相交于E、F两点（点E在F的左边），当以点D、C、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点C的坐标．
分析 （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据消元解方程组，可得5x2+23x+9m-45=0，根据根与系数的关系，可得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得MN2=（n+2）2+（5+5）2，ME2=（n+5）2+52，NE2=（n+3-n）2+52=34，根据勾股定理的逆定理，可得关于n的方程，根据解方程，可得n的值，可得C点坐标．
解答 解：（1）抛物线y=a（x+2）2-5，得
对称轴为x=-2．
由抛物线y=a（x+2）2-5与x轴相交于A、B两点，且AB=6，得
-2+3=1，即B（1，0），-2-3=-5，即A（-5，0），
将A点坐标代入函数解析式，得
9a-5=0，解得m=$\frac{5}{9}$，
抛物线的解析式y=$\frac{5}{9}$（x+2）2-5，顶点D（-2，-5）；
（2）如图1
，
设MN的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-m，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立MN与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{9}（x+2）^{2}-5}\\{y=-\frac{1}{3}x-m}\end{array}\right.$，
化简，得
5x2+23x+9m-45=0．
x1+x2=-$\frac{23}{5}$，x1x2=$\frac{9m-45}{5}$．
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-$\frac{23}{5}$）2-4×$\frac{9m-45}{5}$．
（y1-y2）2=（kx1-kx2）2=k2（x1+x2）2=（-$\frac{1}{3}$）2[（-$\frac{23}{5}$）2-4×$\frac{9m-45}{5}$]
由MN=$\sqrt{10}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，得
（-$\frac{23}{5}$）2-4×$\frac{9m-45}{5}$+（-$\frac{1}{3}$）2[（-$\frac{23}{5}$）2-4×$\frac{9m-45}{5}$]=10，
化简，得180m=1204，
解得m=$\frac{301}{45}$；
（3）由旋转的性质，得
C（n，5），F（n+3，0），P（n-3，0）．
F、A关于P点对称，得
点坐标（$\frac{n-2}{2}$，0）．
DC2=（n+2）2+（5+5）2，DF2=（n+5）2+52，CF2=（n+3-n）2+52=34；
①当CD2+DF2=CF2时，（n+2）2+（5+5）2+（n+5）2+52=34，
化简，得n2+7n+60=0，△=72-4×1×60=-191＜0，方程无解；
②如图2
，
当CD2+CF2=DF2时，（n+2）2+（5+5）2+34=（n+5）2+52，
化简，得6n=88，解得n=$\frac{44}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{44}{3}-2}{2}$=$\frac{19}{3}$，
此时C点坐标为（$\frac{19}{3}$，0）；
③如图3
，
当CF2+DF2=CD2时，（n+5）2+52+34=（n+2）2+（5+5）2，
化简，得6n=20，
解得n=$\frac{10}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{10}{3}-2}{2}$=$\frac{2}{3}$，
此时C点坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．
综上所述：若以点M、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，点C的坐标（$\frac{19}{3}$，0），（$\frac{2}{3}$，0）．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出A、B点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用代入消元法得出5x2+23x+9m-45=0是解题关键，又利用了勾股定理得出关于m的方程；利用了旋转的性质，利用勾股定理得出关于n的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏
如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
如图，在矩形ABCD中，E是边AB上的点，将线段BE绕B点顺时针旋转一定角度后交边CD于点F，此时AE=CF，连接EF交对角线AC于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）| A． | 8$\sqrt{3}$ | B． | 6 | C． | 4$\sqrt{3}$ | D． | 8 |
如图，已知点A（2，m），B（n，1）在抛物线y=x2的图象上
如图，点A，O，D三点在一条直线上，∠AOB=20°，∠BOC=3∠COD．
如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为2．
已知一次函数y=-2x+2与y=-$\frac{1}{2}$x-1的图象l1、l2如图所示，则二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-2x+2\\ y=-\frac{1}{2}x-1\end{array}$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为2的圆与OA的位置关系是（ ）| A． | 相离 | B． | 相交 | ||
| C． | 相切 | D． | 以上三种情况均有可能 |