Question

7．如图所示，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD．将正方形沿EC折叠，点B落在⊙O上F点．
（1）求证：E，F，O三点共线；
（2）求线段BE及AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接CF、BF，证明△OFC≌△ODC，得到∠OFC=90°，根据平角的概念证明结论；
（2）设BE=x，根据勾股定理列出方程，解方程得到BE的长；证明△AFD∽△ODC，根据相似三角形的性质得到比例式求出AF的长．

解答 解：（1）连接CF、BF，
由题意得，∠EFC=∠ABC=90°，
∵CF=CB，CB=CD，
∴CF=CD，
在△OFC和△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{CF=CD}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OFC≌△ODC，
∴∠OFC=∠ADC=90°，
∴∠EF0=180°，
∴E，F，O三点共线；
（2）设BE=x，则EF=x，AE=2-x，
∵AE²+OA²=OE²，
∴（2-x）²+1=（x+1）²，
解得，x=$\frac{2}{3}$，即BE=$\frac{2}{3}$；
连接AF、DF，
OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，又∠ODC=90°，
∴△AFD∽△ODC，
∴$\frac{AF}{OD}$=$\frac{AD}{OC}$，即$\frac{AF}{1}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得AF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、正方形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．