Question

14．在面积为2的正方ABCD中，EF是线段AC，AD上的动点，且始终保持CE=AF．连接BE，BF．BE+BF是否有最小值？若有，请求出这个值；若无，请说明理由．

Answer 1

分析 BE+BF有最小值．过点C作CG⊥AC，使得CG=AB，由△ABF≌△CGE，推出BF=GE，推出BE+BF=BE+EG，因为BE+EG≥BG，所以BE+BF的最小值为BG的长．作BH⊥CG于H，易知△BCH是等腰直角三角形，由AB=$\sqrt{2}$，推出CH=BH=1，在Rt△BHG中，根据BG=$\sqrt{G{H}^{2}+B{H}^{2}}$即可解决问题．

解答 解：BE+BF有最小值．求法如下：
∵AC是正方形的对角线，
∴∠1=∠2=45°，∠DAB=90°，AB=BC，
过点C作CG⊥AC，使得CG=AB，
在△ABF和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=AF}\\{∠BAF=∠GCE=90°}\\{AB=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CGE，
∴BF=GE，
∴BE+BF=BE+EG，
∵BE+EG≥BG，
∴BE+BF的最小值为BG的长．
作BH⊥CG于H，易知△BCH是等腰直角三角形，∵AB=$\sqrt{2}$，
∴CH=BH=1，
在Rt△BHG中，BG=$\sqrt{G{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（1+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．