Question

4．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．
（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；
（2）当四边形ABCD是正方 形时，四边形OBEC是正方形．

Answer 1

分析 （1）四边形OBEC为菱形，理由为：利用两对边平行的四边形为平行四边形得到OBEC为平行四边形，再利用矩形的性质确定出OB=OC，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证；
（2）当四边形ABCD为正方形时，得到∠COB为直角，利用一个角为直角的菱形为正方形即可得证．

解答 解：（1）四边形OBEC是菱形，
证明：∵BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=0.5AC，OB=0.5BD，AC=BD，
∴OC=OB，
∴平行四边形OBEC为菱形；
（2）当四边形ABCD是正方形时，四边形OBEC是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，则有∠COB为直角，OB=OC，
∵四边形OBEC为平行四边形，
∴四边形OBEC为正方形．
故答案为：正方

点评 此题考查了正方形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握各自的性质与判定是解本题的关键．