Question

19．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2$\sqrt{5}$，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求点B到AC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=$\frac{1}{2}$CB=$\sqrt{5}$，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CAN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5-x，
在Rt△ABF中，BF²=AB²-AF²=25-x²，
在Rt△CBF中，BF²=BC²-CF²=2O-（5-x）²，
∴25-x²=2O-（5-x）²，
∴x=3，
∴BF²=25-3²=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．

点评 此题是切线的判定，主要考查了切线的判定定理，勾股定理得应用，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．