Question

9．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，⊙O′与OA、OB相切于点C、D，与$\widehat{AB}$相切于F，求$\widehat{AB}$的长与⊙O′的周长的比．

Answer 1

分析 如图连接OF，CO′，设O′F=O′C=r，在RT△OO′C中求出OO′，利用弧长公式、圆周长公式即可计算．

解答 解：如图，连接OF，CO′，设O′F=O′C=r，
∵∠AOB=120°，
OA、OB是⊙O′的切线，
∴∠AOO′=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，∠OCO′=90°，
∴∠CO′O=30°，
∴OO′=2CO，CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，OO′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OF=（1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）r，
∴$\widehat{AB}$的长；⊙O′的周长=$\frac{120π（1+\frac{2\sqrt{3}}{3}）r}{180}$：2πr=（3+2$\sqrt{3}$）：9．

点评 本题考查切线的性质、弧长公式、圆的周长公式、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是记住弧长公式、圆的周长公式，学会设未知数，表示相应的线段，属于中考常考题型．