题目内容
13．如图①是一张矩形纸片ABCD，AB=5，BC=1，在边AB上取一点M，在边CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，如图②所示．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于$\frac{1}{2}$？若能，求出此时∠1的度数，若不能说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你画图探究可能出现的情况，求出最大值．
分析 （1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；
（2）过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK＞1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于；
（3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．
解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，
∴∠MKN=40°．
（2）不能．如图1，
过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1．
∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵MK≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面积=$\frac{1}{2}$ NK•ME≥$\frac{1}{2}$．
∴△MNK的面积不可能小于$\frac{1}{2}$．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
MK=MB=x，则AM=5-x．
由勾股定理得1 2+（5-x） 2=x 2，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S△MNK=S△MNK=$\frac{1×2.6}{2}$=1.3．
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
MK=AK=CK=x，则DK=5-x．
同理可得：MK=NK=2.6．
∵MD=1，
∴S△MNK=$\frac{1×2.6}{2}$=1.3．
△MNK的面积最大值为1.3．
点评 此题是四边形综合题，主要考查矩形的性质、轴对称变换以及勾股定理的运用，画出图形是解本题的关键．
练习册系列答案
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3．
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4．
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