题目内容

8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（-3，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（-1，4）．点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P做PM⊥x轴于M，交线段AC于点E．
（1）求该二次函数的解析式和直线AC的解析式；
（2）当△PAC面积为3时，求点P的坐标；
（3）过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时：①求EM的长；②直接判断△PCE是什么特殊三角形．

分析 （1）待定系数法可分别求得二次函数与一次函数解析式；
（2）作PH⊥y轴，连接PC，设点P（a，-a2-2a+3），表示出PH、OH、AO、CH的长，由S△PAC=S梯形PHOA-S△PCH-S△AOC=3得出关于a的方程，求解即可得a的值，即可知点P的坐标；
（3）①设P（m，-m2-2m+3），矩形PQMN的周长为C，根据矩形周长公式表示出C关于m的函数解析式，求得其最值情况即可知点P坐标，结合直线AC的解析式即可得知EM的长；
②根据①知点P、E、C坐标，求出PE、PC、CE的长即可判断△PCE的形状．

解答 解：（1）由题意可设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
将点A（-3，0）代入，得：4a+4=0，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3，
则点C坐标为（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A（-3，0）、C（0，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3；

（2）如图，作PH⊥y轴，连接PC，

设点P（a，-a2-2a+3），
则PH=-a，OH=-a2-2a+3，OA=3，
∵S△PAC=S梯形PHOA-S△PCH-S△AOC=3，
∴$\frac{1}{2}$×（-a+3）（-a2-2a+3）-$\frac{1}{2}$×（-a）（-a2-2a+3-3）-$\frac{1}{2}$×3×3=3，
整理，得：a2+3a+2=0，
解得：a=-1或a=-2，
∴点P的坐标为（-1，4）或（-2，3）；

（3）①设P（m，-m2-2m+3），矩形PQMN的周长为C，
则PQ=-2m-2，PM=-m2-2m+3，
∵C=2[（-2m-2）+（-m2-2m+3）]
=-2m2-8m+2
=-2（m+2）2+10，
∴当m=-2时，矩形PQMN的周长最大，此时点P（-2，3），
当x=-2时，y=x+3=-2+3=1，即EM=1；
②由①知点E（-2，1），
∵点P（-2，3）、C（0，3），
∴PE=2，PC=2，CE=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵PE2+PC2=CE2，且PE=PC，
∴△PCE是等腰直角三角形．

点评 本题考查了二次函数解析式求法、性质，矩形的性质、一元二次方程的解法等知识，综合性较强，运用数形结合、方程思想是解题的关键．

练习册系列答案
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A．4B．5C．6D．7
19．如图所示，将菱形ABCD放置于平面直角坐标系中，其中AB边在y轴上，点C坐标为（4，0）．直线m：$y=-\frac{4}{3}x-3$经过点B，将该直线沿着y轴以每秒1个单位的速度向上平移，设平移时间为t，经过点D时停止平移．
（1）填空：点D的坐标为（4，5）；
（2）设平移时间为t，求直线m经过点A、C、D 的时间t；
（3）已知直线m与BC所在直线互相垂直，在平移过程中，直线m被菱形 ABCD 截得线段的长度为l，请写出l与平移时间t的函数关系表达式（不必写出详细的解答过程，简要说明你的解题思路，写清结果即可）．
16．小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：x2-x1=x3-x2=…=x7-x6=d，再分别算出对应的y值，列出表1：
表1
　x　x1x2x3x4x5x6x7
　y　13　713213143
记m1=y2-y1，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，…；s1=m2-m1，s2=m3-m2，s3=m4-m3，…
（1）判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；
（2）若将函数“y=x2-x+1”改为“y=ax2+bx+c（a≠0）”，列出表2：
表2
x　x1x2x3x4x5x6x7
yy1y2y3y4y5y6y7
其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；
（3）小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出表3：
表3
　x　x1x2x3x4x5　x6x7
　y　1050　　110190　290　412　　550
由于小明的粗心，表中有一个值算错了，请指出算错的值（直接写答案）．
3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交线段CD于点P，FE的延长线交线段BC于点H，连接AH、AP．
（1）求证：△ADP≌△AEP；
（2）①求∠HAP的度数；②判断线段HP、BH、DP的数量关系，并说明理由；
（3）连接DE、EC、CF、DF得到四边形CFDE，在旋转过程中，四边形CFDE能否为矩形？若能，求出BH的值；若不能，请说明理由．
13．【探索研究】我们可以借鉴以前研究函数的经验，探索函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象性质．
（1）根据下表数据，画出上述函数图象．
X…$\frac{1}{4}$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$1234…
y…$\frac{17}{4}$$\frac{10}{3}$$\frac{5}{2}$2$\frac{5}{2}$$\frac{10}{3}$$\frac{17}{4}$…
（2）观察图象，写出该函数的一个性质．
【阅读理解】当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$=${（{\sqrt{x}}）^2}+{（{\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}={（{\sqrt{x}-\sqrt{\frac{1}{x}}}）^2}+2$
（3）由此可见，当x=1时，函数y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值为2．
【变形应用】
（4）求函数y=x+$\frac{1}{x+1}$（x＞-1）的最小值，并指出y取得最小值时相应的x的值．
20．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在器材投资商的平均增长率是多少？若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，根据题意可列出的方程为2（1+x）+2（1+x）2=12．
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18．下列命题：
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③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；
④对于反比例函数y=$\frac{k}{x}$，当k＞0时，y随x的增大而减小；
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其中真命题共有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

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