Question

3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，EF交线段CD于点P，FE的延长线交线段BC于点H，连接AH、AP．
（1）求证：△ADP≌△AEP；
（2）①求∠HAP的度数；②判断线段HP、BH、DP的数量关系，并说明理由；
（3）连接DE、EC、CF、DF得到四边形CFDE，在旋转过程中，四边形CFDE能否为矩形？若能，求出BH的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质得到AB=AE，∠AEP=∠ABH=90°，根据正方形的性质得到AD=AB，∠D=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；
（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；
（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．

解答 解（1）∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转角度α，
∴AB=AE，∠AEP=∠ABH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=90°，
∴AE=AD，∠D=∠AEP=90°
在Rt△ADP与Rt△AEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP；
（2）∵∠AEP=90°，
∴∠AEH=90°，
在Rt△ABH与Rt△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌Rt△AEH，
∴∠BAH=∠EAH，BO=HE，
∵Rt△AEP≌Rt△ADP，
∴∠EAP=∠DAP，EP=DP，
∴∠HAP=∠HAE+∠EAP=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
HP=HE+EP=HB+DP；
（3）当P是CD中点时，四边形CFDE是矩形，
∵P是CD中点，
∴DP=CP=$\frac{1}{2}$CD，
由（2）得EP=DP，
又∵CD=EF，
∴DG=$\frac{1}{2}$DE，
∴DP=PC=PE=PF，
∴四边形CFDE是矩形，
设BH=x，
则HE=BH=x，PE=PD=PC=3，CH=6-x，
由勾股定理得，（6-x）²+3³=（3+x）²，
解得，x=2，即BH=2．

点评 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．