Question

17．如图，一次函数y=k₂x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y=k₁x的图象相交于点A（4，3），且OA=OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析式．
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，求出AD即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①OA=OP，②AO=AP，③PA=PO．

解答 解：∵正比例函数y=k₁x的图象经过点A（4，3），
∴4k₁=3，
∴k₁=$\frac{3}{4}$，
∴正比例函数解析式为y=$\frac{3}{4}$x．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在RT△AOC中，OC=4，AC=3
AO=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴OB=OA=5，
∴B（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{k}_{2}+b=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=2x-5．

（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A（4，3），
∴AD=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OB•AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，

（3）如图2中，当OP=OA时，P₁（-5，0），P₂（5，0），
当AO=AP时，P₃（8，0），
当PA=PO时，线段OA的垂直平分线为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
∴P₄（$\frac{25}{8}$，0），
∴满足条件的点P的坐标（-5，0）或（5，0）或（8，0）或（$\frac{25}{8}$，0）．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形面积、等腰三角形等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．