Question

14．已知正方形ABCD的边BC在x轴上，BA在y轴上，点B与原点O重合，点D在第一象限．△ABE是等边三角形，点E在第二象限．M为对角线BD（不含B点）上任意一点．
（Ⅰ）如图①，若BC=$\sqrt{6}$，当AM+CM的值最小时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM．
①求证△AMB≌△ENB；
②当AM+BM+CM的最小值为$\sqrt{3}$+1时，直接写出此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两点之间线段最短确定M的位置，作MG⊥BC于点G．根据正方形的性质和等腰三角形的性质计算即可；
（Ⅱ）①根据等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定定理证明即可；
②过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，设正方形的边长为x，根据勾股定理求出x，根据等边三角形的性质解答即可．

解答 解：（Ⅰ）连接AC交BD于点M，
根据“两点之间线段最短”，得此时AM+CM的值最小． 
过点M作MG⊥BC于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴$MB=\frac{1}{2}BD$，$MC=\frac{1}{2}AC$，BD=AC，∠BMC=90°，
∴MB=MC．
∵MG⊥BC，
∴$BG=GC=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
在Rt△BMC中，有$MG=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$）；
（Ⅱ）①∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE．∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE，
∵BN是由BM绕点B逆时针旋转60°得到，
∴MB=NB，
在△AMB和△ENB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠ABM=∠EBN}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ENB；
②过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
设正方形的边长为x，则BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，EF=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（$\frac{1}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+x）²=（$\sqrt{3}$+1）²．
解得，x=$\sqrt{2}$（舍去负值）．
∴正方形的边长为$\sqrt{2}$，
∴点E的坐标为：（$-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．