Question

3．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F、G、H是AD、AB、BC、CD的中点．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理，即可证明四边形EFGH的两组对边分别平行，即为平行四边形，然后根据平行线证明有一个角是直角，即可依据矩形的定义得出结论；
（2）根据菱形的性质可得，菱形的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD，由三角形中位线定理可得，EH=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$BD，根据四边形EFGH是矩形，可求得矩形的面积．

解答 （1）证明：∵F、E是AB和AD的中点，即EF是△ABD的中位线，
∴BD∥EF，
同理可得：EH∥AC，HG∥BD，FG∥AC，
∴EH∥FG，且EF∥HG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
即∠EHG=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形；

（2）解：∵菱形ABCD的面积是50，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BD=50，
又∵F、E、H是AB、AD、CD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，EH是△ACD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴矩形EFGH的面积=EF•EH=$\frac{1}{2}$AC×$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×50=25．

点评 本题以中点四边形为背景，主要考查了三角形的中位线定理以及矩形的判定方法，正确理解矩形的判定方法是关键．解答该时注意：菱形面积=$\frac{1}{2}$ab（其中a、b是两条对角线的长度）．