Question

如图所示，在⊙O中，

AD

=

AC

，弦CD与弦AB交于点F，连接BC，若∠ACD=60°，⊙O的半径长为2cm．
（1）求∠B的度数；
（2）圆心O到弦AC的距离；
（3）求图中阴影部分面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据圆周角定理得出∠B=∠ACD，即可得出答案；
（2）过O作OH⊥AC于H，连接OA、OC，根据圆周角定理求出∠AOC，求出∠AOH，解直角三角形求出即可；
（3）分别求出扇形AOC的面积和△AOC的面积，即可得出答案．

解答：解：（1）∵

AD

=

AC

，
∴∠B=∠ACD=60°；

（2）过O作OH⊥AC于H，连接OA、OC，
∵根据圆周角定理得：∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOH=

1

2

∠AOC=60°，
∴OH=OA•cos∠AOH=2×

1

2

=1，
即圆心O到AC的距离为1cm；

（3）∵AH=AO•sin∠AOH=2×

3

2

=

3

，
∴AC=2AH=2

3

，
S_阴影=S_扇形OAC-S_△AOC
=

120

360

×π×2²-

1

2

×2

3

×1
=（

4

3

π-

3

）cm²．

点评：本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理的应用，能综合性运用定理进行推理和计算是解此题的关键，难度适中．