Question

13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{n}$（m≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，4），点A的坐标为（n，6），且tan∠ACO=2．
（1）求点C的坐标和一次函数的解析式；
（2）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为等腰三角形．（直接写出点E的坐标）

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥x轴于E，根据已知条件得到C（-2，0），解方程组即可得到结论；
（2）A的坐标为（n，6），代入一次函数的解析式得到A（1，6），即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，①当AC=CE=3$\sqrt{5}$时，如图2，得到点E（-2-3$\sqrt{5}$，0）或（3$\sqrt{5}$-2，0）；②当AC=AE时，如图3，过A作AF⊥CE于F，得到E（4，0）；③当AE=CE时，如图4，此时点E在AC的垂直平分线上，根据勾股定理得到E（$\frac{11}{2}$，0）．

解答 解：（1）过点A作AE⊥x轴于E，
∵D（0，4），tan∠ACO=2，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为：y=2x+4；

（2）∵A的坐标为（n，6），
∴6=2x+4，
∴x=1，
∴A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数表达式为：y=$\frac{6}{x}$；

（3）∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵△ACE为等腰三角形，
①当AC=CE=3$\sqrt{5}$时，如图2，
∵OC=2，
∴点E（-2-3$\sqrt{5}$，0）或（3$\sqrt{5}$-2，0）；
②当AC=AE时，如图3，
过A作AF⊥CE于F，
∴EF=CF=3，
∴E（4，0）；
③当AE=CE时，如图4，
此时点E在AC的垂直平分线上，
∴CE=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}+（3\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
∴E（$\frac{11}{2}$，0）；
综上所述，E（-2-3$\sqrt{5}$，0）或（3$\sqrt{5}$-2，0）或（4，0）或（$\frac{11}{2}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．