如图1.已知在Rt△ABC中.AB=BC.∠ABC=90°.O为AC中点．(1)如图1.若把三角板的直角顶点放置于点O.两直角边分别与AB.BC交于点M.N.求证:BM=CN,(2)若点P是线段AC上一动点.在射线BC上找一点D.使PD=PB.再过点D作BO的平行线.交直线AC于一点E.试在备用图上探索线段ED和OP的关系.并说明理由．试在备用图上探索线段ED和OP的数量关系.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O为AC中点．
（1）如图1，若把三角板的直角顶点放置于点O，两直角边分别与AB、BC交于点M，N，求证：BM=CN；
（2）若点P是线段AC上一动点，在射线BC上找一点D，使PD=PB，再过点D作BO的平行线，交直线AC于一点E，试在备用图上探索线段ED和OP的关系，并说明理由．试在备用图上探索线段ED和OP的数量关系，并说明理由．

分析（1）连结OB，依据等腰三角形的性质可证明∠OBM=∠C=45°，OB=OC，依据同角的余角相等可证明∠MOB=∠NOC，依据ASA可证明△BOM≌Rt△CON，由全等三角形的性质可知BM=CN；
（2）首先根据题意画出图形，当点P在线段AO上时，如图2所示，当点P在线段CO上时，如图3所示，然后依据AAS证明△BPO≌△PDE（AAS），由求全等三角形的性质可知OP=DE．

解答证明（1）：如图1所示：连结OB．

∵AB=BC，O为AC中点，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°．
∴∠ABO=∠C=∠CBO．
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°．
∴∠MOB=∠CON．
在△BOM和Rt△CON中$\left\{\begin{array}{l}{∠MBO=∠C}\\{OB=OC}\\{∠MOB=∠CON}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌Rt△CON（ASA）．
∴BM=CN．
（2）OP=DE．
理由如下：①如图2，若点P在线段AO上．

∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°．
∴OP⊥DE．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°．
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°．
∴∠OBC=∠C=45°．
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC．
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°．
在△BPO和△PDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠PED}\\{∠PBO=∠DPC}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）．
∴OP=DE．
②若点P在线段CO上．

∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDE}\\{∠BOP=∠DEP}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△BPO≌△PDE（AAS）．
∴OP=DE．