Question

6．分别求出对应的二次函数的解析式：
（1）已知抛物线的顶点为（-2，1），且过点（-4，3）；
（2）二次函数的图象经过（-3，0）、（2，0）、（1，4）三点；
（3）已知抛物线的图象的最高点的纵坐标为6，图象经过（1，0），（-1，2）．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x+2）²+1，再把（-4，3）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
（2）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，故设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-2），然后把（1，4）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
（3）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把（1，0），（-1，2）代入函数解析式，联立顶点坐标公式列出方程组，并解答．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）²+1（a≠0），
把（-4，3）代入解析式得a=$\frac{1}{2}$，
所以y=$\frac{1}{2}$（x+2）²+1=$\frac{1}{2}$x²+2x+3．
则抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+2x+3．

（2）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-2）（a≠0），
把（1，4）代入解析式得：4=a（1+3）（1-2），
解得a=-1，
所以y=-（x+3）（x-2）=-x²-x+6，
则抛物线的解析式为：y=-x²-x+6．

（3）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{a-b+c=2}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{-5+2\sqrt{6}}{2}}\\{b=-1}\\{c=\frac{7-2\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{-5-2\sqrt{6}}{2}}\\{b=-1}\\{c=\frac{7+2\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，
故该抛物线解析式为：y=$\frac{-5+2\sqrt{6}}{2}$x²-x+$\frac{7-2\sqrt{6}}{2}$或y=$\frac{-5-2\sqrt{6}}{2}$x²-x+$\frac{7+2\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的解析式的三种形式．