Question

12．如图，PA切⊙于点A，OP交⊙O于点B，且点B为OP的中点，弦AC∥OP．若OP=2，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{π}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{π}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 连结OA、OC，如图，由切线的性质得∠OAP=90°，再利用三角函数的定义求出∠POA=60°，接着判断△OAC为等边三角形得到∠AOC=60°，然后根据等边三角形面积公式和扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S_扇形AOC-S_△AOC进行计算即可．

解答 解：连结OA、OC，如图，
∵PA切⊙于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵点B为OP的中点，
∴OB=PB，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP=1，
∴∠P=30°，∠POA=60°，
∵AC∥OP，
∴∠OAC=∠POA=60°，
而OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形AOC-S_△AOC
=$\frac{60•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•1²
=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是求∠AOC的度数．