Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AD=6$\sqrt{3}$，AF=4$\sqrt{3}$，∠ADE=30°，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，证出∠AFD=∠C，即可得出结论；
（2）证出AD⊥AE，由∠ADE=30°，求出AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=6，AD=2AE=12，由相似三角形的对应边成比例得出$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AD⊥AE，
∵∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=6，
∴AD=2AE=12，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，
即$\frac{4\sqrt{3}}{CD}=\frac{6\sqrt{3}}{12}$，
解得：CD=8，∴AB=8．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形相似是解决问题的关键．