Question

3．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点D是劣弧AC的中点，OH=1，AH=2，求弦AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，证得∠PCF+∠AC0=90°，即OC⊥PC，即可证得结论；
（2）先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．

解答 （1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵DE⊥AB，
∴∠OAC+∠AFH=90°，
∵∠PDF=∠AFH，
∴∠PFC+∠OAC=90°，
∴∠PCF+∠AC0=90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGA=∠OHD}\\{∠DOA=∠AOD}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4$\sqrt{2}$．

点评 考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了全等三角形的判定和性质．