Question

2．如图，已知等腰直角三角形△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA=CF．求证：DE=DF；DE⊥DF．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，中线AD平分∠BAC，并且AD=$\frac{1}{2}$BC，则∠BAD=∠C，AD=DC，又EA=CF，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：连接AD，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD=DC，AD平分∠BAC，∠C=45°，
∴∠EAD=∠C=45°，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{EA=CF}\\{∠EAD=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDB=90°，
∴∠CDF+∠EDB=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：如果两个三角形中有两组对应边相等，并且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形性质．