Question

4．如图，在正六边形ABCDEF（由六个完全相同的等边三角形拼成）中，已知$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$．
（1）求$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），并在图中画出这个向量；
（2）求$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$；
（3）用含$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$的式子表示向量$\overrightarrow{BE}$．

Answer 1

分析 （1）由在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，根据平行四边形法则，可得$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{FO}$=$\overrightarrow{a}$，然后利用三角形法则求得$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值；
（2）在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，根据平行四边形法则，可得$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，然后利用三角形法则求得答案；
（3）在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，根据平行四边形法则，可得$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，然后利用三角形法则求得答案．

解答 解：（1）∵在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{FO}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{CF}$=2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{AF}$-（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CF}$=2$\overrightarrow{a}$；
如图：

（2）∵在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BO}$-$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{0}$；

（3）∵在正六边形ABCDEF中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$．

点评 此题考查了平面向量的知识．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．