Question

10．如图，四边形OABC是矩形，OA=3，OC=1，点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线ED交线段OA于点E，tan∠DEO=$\frac{1}{2}$．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，则四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 连接GF，交DE于点M，过点D作DH⊥OA，垂足为H．由tan∠DEO=$\frac{1}{2}$，可求得HE=2，在Rt△DHE中，由勾股定理可知：DE=$\sqrt{5}$，然后证明四边形DFEG为平行四边形，从而可知MD=ME，GM=FM，然后再证明ME=2MG，故此GF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，最后根据四边形DFEG的面积=$\frac{1}{2}DE•FG$计算即可．

解答 解：如图所示，连接GF，交DE于点M，过点D作DH⊥OA，垂足为H．

∵tan∠DEO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DH}{HE}=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{EH}=\frac{1}{2}$．
∴HE=2．
在Rt△DHE中，DE=$\sqrt{D{H}^{2}+E{H}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$．
∵DF∥GE，DG∥EF，
∴四边形DFEG为平行四边形．
∴MD=ME．GM=FM．
由翻折的性质可知：ED⊥FG，FM=GM，
在Rt△MEG中，$\frac{MG}{EM}=\frac{1}{2}$．
∴ME=2MG．
∴FG=$\frac{1}{2}DE$．
∴GF=$\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴四边形DFEG的面积=$\frac{1}{2}DE•GF=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、平行四边形的判定和性质，证得FG=$\frac{1}{2}DE$是解题的关键．