Question

15．如图，已知在等边△ABC中，D、E是BC，AC上的点，AE=CD，AD与BE相交于Q，BP丄AD，则$\frac{PQ}{BQ}$的值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先证得△ABE≌△CAD，得∠ABE=∠CAD，又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，所以∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，所以，在直角△BPQ中，∠QBP=30°，即可解得．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，
又∵BP⊥AD，
∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°，
∴BQ=2PQ，
∴$\frac{PQ}{BQ}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力．