Question

1．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第2个四边形，再依次连结第二个四边形各边的中点得到第3个四边形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形相邻两边长分别为3、4，则第2014个四边形的周长为10×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³．

Answer 1

分析 奇数位置是矩形，偶数位置是菱形，第2014个四边形是菱形．根据第一个矩形的两条邻边长分别为3和4，得出中位线的长的长，再根据中位线定理，可知第一个菱形的边长是第一个矩形对应的对角线的$\frac{1}{2}$，即可得出第一个菱形的边长和周长，以次类推，即可得出第n个菱形的周长．

解答 解：因为第一个矩形的两条邻边长分别为3和4，
所以对角线的长为5，
根据中位线定理，可知第一个菱形的边长是第一个矩形对应的对角线的$\frac{1}{2}$，
所以第一个菱形的边长是$\frac{5}{2}$，周长是$\frac{5}{2}$×4=10，
因为第二个矩形的边长是第一个矩形对应的边长的$\frac{1}{2}$，
根据中位线定理，可知第二个菱形的边长是第二矩形对应的对角线的$\frac{1}{2}$，
所以第二个菱形的边长是$\frac{5}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$，周长是10×$\frac{1}{2}$=5，
同理：第三个菱形的周长为10×（$\frac{1}{2}$）²，
所以第2014个菱形的周长为10×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³．
故答案为：10×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹³．

点评 本题考查了图形的变化规律，用到的知识点是三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．