Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作已知角的平分线）作DN平分∠ADC；
（2）根据等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD，再利用AM是△ABC外角∠CAE的平分线可得∠FAD=90°，则可判断AF∥BC，利用平行线的性质得∠CDF=∠AFD，加上∠AFD=∠ADF，所以∠CDF=∠ADF，然后根据等腰三角形的判定方法可得到△ADF是等腰直角三角形．

解答 解：（1）如图，DN为所作；

（2）△ADF是等腰直角三角形． 
理由如下：∵AB=AC，AD是高，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，
∴∠FAD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴AF∥BC，
∴∠CDF=∠AFD，
又∵∠AFD=∠ADF，
∴∠CDF=∠ADF，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的判断与性质．