Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x+1=m．
（1）若m是一个大于5而小于10的整数，且方程的两个根都是有理数，求m的值和它的另一个根；
（2）若方程x²-2x-m+1=0有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x的方程x²-（m-2）x+1-2m=0的根的情况．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：（1）根据题意结合方程有两个有理根得出m=9，进而求出即可；
（2）利用根的判别式得出m的取值范围，进而得出答案．

解答：解：（1）∵x²-2x+1=m
∴（x-1）²=m，
∵m是一个大于5而小于10的整数，且方程的两个根都是有理数，
∴m=9，
∴x-1=±3，
解得：x₁=4，x₂=-2，
故m的值为9和它的另一个根为2或4；

（2）∵方程x²-2x-m+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4-4（1-m）＞0，
即m＞0，
∵另一个关于x的方程x²-（m-2）x+1-2m=0，
△=b²-4ac=（m-2）²-4（1-2m）=m²+8m=m（m+8），
又∵m＞0，
∴m+8＞0，
∴△=b²-4ac=m（m+8）＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．

点评：此题主要考查了一元二次方程的整数根，正确掌握根的判别式是解题关键．