Question

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+c交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，OB=OC，且S_△ABC=4．
（1）如图1，求a、c的值；
（2）如图2，点P在第三象限的抛物线上，BP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在线段PD上，若PC=$\sqrt{2}$CQ，2∠PCD-∠PCQ=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式求出B、C两点坐标，代入抛物线解析式解方程组即可解决问题．
（2）设直线PB解析式为y=kx+b，把P（t，-$\frac{1}{2}$t²+2），B（2，0）代入，解方程组即可．
（3）如图2中，作P关于y轴的对称点P′，连接CP′，PP′，QP′，PP′交y轴于F，PQ与OF交于点E，作P′Q′⊥CQ于Q′．只要证明∠OBD=45°，求出直线PB的解析式，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，设OB=OC=OA=m，
∵$\frac{1}{2}$•2m•m=4，
∴m=2，
∴点B坐标（2，0），C（0，2），代入抛物线解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．

（2）如图1中，

设直线PB解析式为y=kx+b，把P（t，-$\frac{1}{2}$t²+2），B（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{tk+b=-\frac{1}{2}{t}^{2}+2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{t+2}{2}}\\{b=t+2}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=-$\frac{t+2}{2}$x+t+2，
∴点D的坐标为t+2，
∴d=-t．（t＜-2）．

（3）如图2中，作P关于y轴的对称点P′，连接CP′，PP′，QP′，PP′交y轴于F，PQ与OF交于点E，作P′Q′⊥CQ于Q′．

根据对称性可知：∠PCD=∠P′CD，PC=CP′，
∵PC=$\sqrt{2}$CQ，2∠PCD-∠PCQ=45°，
∴∠P′CQ=45°，CP′=$\sqrt{2}$CQ′，
∴Q与Q′重合，
∴△CQP′是等腰直角三角形，
∴∠CQE=∠EFP′=90°，∵∠CEQ=∠FEP′，
∴∠DCQ=∠FP′Q，
∵CD=PF=FP′（由2可知），
∴△CDQ≌△P′FQ，
∴DQ=QF，∠CQD=∠P′QF，
∴∠DQF=∠CQP′=90°，
∴△DQF是等腰直角三角形，
∴∠QDF=∠ODB=∠OBD=45°，
∴直线BD的解析式为y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（-4，-6）．

点评 本题考查考查二次函数的综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、一次函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．