题目内容
2．将一副直角三角板按图1放置，∠ACB=∠CDE=90°，AB边交直线DE于点M，∠CAB=60°，∠ABC=30°，∠ECD=45°，设∠BMD=α，∠BCE=β．（1）如图1，猜想α和β之间的关系，并证明你的猜想；
（2）当其中一个三角板旋转时，如图2，直接写出α和β之间的关系：α+β=165°；
（3）如图3，作∠AME的角平分线交CE于点F，当β=14°，求∠CFM的度数．
分析 （1）由∠BMD+∠B=∠BCE+∠DEC可得α+30°=β+45°，即α-β=15°；
（2）由∠BOM=∠COE=180°-∠BCE-∠DEC=135°-β，且∠BMD=∠BOM+∠B，可得α=135°-β+30°，即α+β=165°，
（3）由（2）中结论得α=165°-β=151°，即∠DMB=∠AME=151°，根据MF平分∠AME知∠EMF=$\frac{1}{2}$∠AME=75.5°，结合∠DEC=45°可得∠CFM=∠EMF+∠DEC=120.5°．
解答 解：（1）α-β=15°，
∵∠BMD+∠B=∠BCE+∠DEC，
∴α+30°=β+45°，
∴α-β=15°；
（2）如图，
∵∠BCE=β，∠DEC=45°，
∴∠BOM=∠COE=180°-∠BCE-∠DEC=135°-β，
又∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠BOM+∠B，即α=135°-β+30°，
∴α+β=165°，
故答案为：α+β=165°；
（3）∵β=14°，
∴α=165°-β=151°，即∠DMB=∠AME=151°，
∵MF平分∠AME，
∴∠EMF=$\frac{1}{2}$∠AME=75.5°，
∵∠DEC=45°，
∴∠CFM=∠EMF+∠DEC=120.5°．
点评 本题主要考查角的计算、角平分线的性质、三角形的内角和定义及外角的性质，根据题意结合图形将∠BMD和∠BCE利用三角形的内角和定理及外交的性质联系到一起是解题的关键．
练习册系列答案
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已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE．
如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
14．小明的爸爸是一名业务员，使用电话的频率很高，因此他在某电话营业厅选择了A种套餐，如下表（A、B两种套餐接听免费，拨打收费，以下通话时间全部为拨打时间）：
（1）如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟，求当月的电话费；
（2）小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按A套餐计费．第二年1月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟．请问他11月和12月的话费各是多少？
（3）若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？
| 固定费用（元） | 免费拨打时间（分钟） | 超出免费时间后单价（元/分钟） | |
| A | 18 | 1500 | 0.1 |
| B | 38 | 4000 | 0.07 |
（2）小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按A套餐计费．第二年1月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟．请问他11月和12月的话费各是多少？
（3）若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？