Question

10．如图1，点C为△MNQ的边QN上一点（QC＜CN），点C关于MN、MQ的对称点分别为点A、B，连接AB、BC、AC，且AB经过点M．
（1）求证：M为AB的中点；
（2）如图2，连接BQ、AN，求证：BQ∥AN；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AN到R，使NR=BQ．连接BR，BR与QN相交于点O，连接AO、MC，当AO⊥BR，QN=4$\sqrt{3}$时，求MC的长？

Answer 1

分析 （1）连接MC，由轴对称的性质可知BM=MC=MA，从而结论得证；
（2）同样由轴对称性质可知∠BMQ=∠CMQ，∠NMC=∠NMA，∠BQM=∠CQM，∠CNM=∠ANM，于是∠QMN=90°，∠CQM+∠CNM=90°，从而∠BQC+∠ANC=180°，得证；
（3）由（2）中所得结论BQ∥AN以及NR=BQ易证△BQO≌△RNO，从而可得BO=RO，QO=NO，又AO⊥BR，于是AB=AR，连接MO，则MO为△ABR中位线，于是AR=2MO，而MO为Rt△QMN斜边中线，故QN=2MO，得到AB=QN，而CM=$\frac{1}{2}$AB，水落石出．

解答 解：（1）连接MC，如图1，

∵B、C关于MQ对称，
∴BM=CM=MA，
∴M为AB中点；
（2）如图2，

∵B、C关于MQ对称，
∴∠BMQ=∠CMQ，∠BQM=∠CQM，
同理∠NMC=∠NMA，∠CNM=∠ANM，
∴∠QMN=90°，
∴∠CQM+∠CNM=90°，
∴∠BQC+∠ANC=180°，
∴BQ∥AN；
（3）连接MO，如图3，

设BC与MQ交于点F，AC与MN交于点E，
∵B、C关于MQ对称，A、C关于MN对称，
∴MQ垂直平分BC，MN垂直平分AC，
∴MFCE为矩形，
∴∠ACB=90°，
∵AN∥BQ，
∴∠ONR=∠OQB，∠ORN=∠OBQ，
在△ONR和△OQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ONR=∠OQB}\\{NR=BQ}\\{∠ORN=∠OBQ}\end{array}\right.$，
∴△ONR≌△OQB（ASA），
∴OQ=ON，OB=OR，
∴MO=OQ=ON，
又M为AB中点，
∴MO=$\frac{1}{2}$AR，
∵AO⊥BR，
∴AB=AR，
∵QR=4$\sqrt{3}$，
∴AB=AR=4$\sqrt{3}$，
∴MC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题为几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质、平行线的判定与性质、全等级三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等重要知识点，综合性较强，难度较大．熟练掌握轴对称的性质是解决本题的切入点和关键．