Question

4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD=2AB，则S_梯形ABCD：S_△GHF=12：1．

Answer 1

分析 先用梯形的性质得出FH∥AB，从而判断出△ABG≌△FHG，得出$\frac{{S}_{△GHF}}{{S}_{△BFH}}=\frac{1}{2}$，最后利用同底等高的两三角形的面积比等于底的比结合比例的性质即可．

解答 解：∵中位线EF交BD于H，
∴EF∥AB∥CD，BF=CF
∴△BFH∽△BCD，
∴$\frac{FH}{CD}=\frac{BF}{BC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{S}_{△BFH}}{{S}_{△BCD}}=\frac{1}{4}$，
∴FH=$\frac{1}{2}$CD，
∵CD=2AB，
∴FH=AB，
∵AB∥FH，
∴∠ABG=∠FHG，
在△ABG和△FHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠FHG}\\{∠AGB=∠FGH}\\{AB=FH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FHG，
∴BG=HG，
∴S_△BFG=S_△GHF，
∴$\frac{{S}_{△GHF}}{{S}_{△BFH}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△GHF}}{{S}_{△BCD}}=\frac{1}{8}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BCD}}=\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{梯形ABCD}}{{S}_{△GHF}}$=12，
故答案为12：1．

点评 此题是相似三角形的性质和判定，全等三角形的判断和性质，同高的两三角形的面积比等于底的比，比例的性质，用比例的基本性质是解本题的关键．