Question

19．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以对角线AC为边作第2个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第3个菱形AEGH使∠HAE=60°…，则第3个菱形的边长是3，按此规律所作第n个菱形的边长是（$\sqrt{3}$）^n-1．

Answer 1

分析 连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．

解答 解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得第3个菱形的边长为：AE=$\sqrt{3}$AC=（$\sqrt{3}$）²=3，
第4个菱形的边长为：AG=$\sqrt{3}$AE=（$\sqrt{3}$）³，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（$\sqrt{3}$）^n-1，
故答案为：3，（$\sqrt{3}$）^n-1．

点评 此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．