Question

15．某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60?，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 （1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i；
（2）在Rt△BCF中，BF=$\frac{CF}{tan∠CBF}$=$\frac{CF}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CF，在Rt△CEF中，EF=$\frac{CF}{tan∠CEF}$=$\frac{CF}{3.4}$=$\frac{5}{17}$CF，根据BF-EF=8得出方程$\frac{\sqrt{3}}{3}$CF-$\frac{5}{17}$CF=8，解方程求出CF，进而求得．

解答 解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12米，
∴AB的坡度i=$\frac{BG}{AG}$=$\frac{5}{12}$=1：2.4；

（2）在Rt△BCF中，BF=$\frac{CF}{tan∠CBF}$=$\frac{CF}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CF，
在Rt△CEF中，EF=$\frac{CF}{tan∠CEF}$=$\frac{CF}{3.4}$=$\frac{5}{17}$CF，
∵BF-EF=BE=8米，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$CF-$\frac{5}{17}$CF=8，
解得：CF≈29.35．
∴DC=CF+DF≈29.35+5≈34.4米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-坡度和坡比问题，勾股定理，能够正确作出辅助线构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．