Question

4．如图，直线y=4x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交与点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为α，且tanα=$\frac{1}{4}$．
（1）求k的值．
（2）求点B的坐标．
（3）设点P点在y轴上，若△PAB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为：（0，5）或（0，-5）．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=4x经过点A（1，a），可得a的值，再将A的坐标代入反比例函数解析式，进而得到k的值；
（2）过点B作BE垂直于x轴于点E，设BE长为m，得出点B坐标为（-m，-4m），把点B代入$y=\frac{4}{x}$中，即可得到m的值；
（3）分两种情况：点P在y轴正半轴和负半轴上，分别根据AB⊥BP或AB⊥AP'，以及点A，B的坐标，即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入y=4x中，得a=4，
所以A（1，4），
把点A（1，4）代入$y=\frac{k}{x}$中，得k=4；

（2）过点B作BE垂直于x轴于点E，如图示，

设BE长为m，在Rt△OBE中，
∵$tanα=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BE}{OE}=\frac{1}{4}$，即 OE=4BE=4m，
∴所以点B坐标为（-m，-4m），
把点B代入$y=\frac{4}{x}$中，
得：4m²=4，
解得m₁=1，m₂=-1（舍去）
∴点B坐标为（-4，-1）；

（3）如图所示，过A作AP'⊥AB，交y轴于P'，过B作BP⊥AB，交y轴于P，
根据A（1，4），B（-4，-1），可得直线AB的解析式为y=x+3；
根据直角坐标系中互相垂直的两直线的系数k互为负倒数，
可设直线BP为y=-x+m，
把B（-4，-1）代入可得，m=-5；
设直线AP'的解析式为y=-x+n，
把A（1，4）代入，可得n=5，
∴点P坐标为：（0，5），（0，-5）．
故答案为：（0，5）或（0，-5）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．解题时注意：直角坐标系中互相垂直的两直线的系数k互为负倒数．