Question

20．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，过⊙O上一点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，且∠DCA=∠E．
（1）求证：$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$；
（2）若$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求sin∠E的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，只要证明OC⊥BD即可；
（2）连接BC、作CM⊥AB于M．由$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，设BC=DC=3k，则AB=5k，AC=4k，推出OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，由$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CM，推出CM=$\frac{12}{5}$k，在Rt△OCM中，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，由sin∠E=sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$，计算即可解决问题．

解答 （1）证明：连接BD、OC．
∵EC是⊙的切线，
∴CO⊥EC，
∵∠ACD=∠ABD=∠E，
∴BD∥EC，
∴BD⊥OC，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$．

（2）连接BC、作CM⊥AB于M．
∵∠OCM+∠ECM=90°，
∠E+∠ECM=90°，
∴∠OCM=∠E，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{BC}$，
∴CD=BC，
∵$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，设BC=DC=3k，则AB=5k，AC=4k，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$k，
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CM，
∴CM=$\frac{12}{5}$k，
在Rt△OCM中，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
∴sin∠E=sin∠OCM=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{\frac{7}{10}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．