Question

14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判断四边形ADEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠EDC=∠DCA即可解决问题；
（2）结论：四边形ADEF是平行四边形．只要证明CE∥BF，CE=BF即可；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠EDC=∠CAB，
∴∠EDC=∠DCA，
∴DE∥AC．

（2）解：结论：四边形ADEF是平行四边形．
理由：作DH⊥AC于H．
∵AC∥DE，∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ECF=∠DHC=90°，
∴四边形DECH是矩形，
∴DH=EC，
在△ADH和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAH=∠FCB}\\{∠DHA=∠BFC=90°}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△BCF，
∴DH=BF=CE，
∵BF∥CE，
∴四边形EFBC是平行四边形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．