Question

8．如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP=4，则AB的长为8．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义求出∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，由等角对等边得出BQ=CQ，得出BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①；过点P作PD∥BQ，由“角角边”证明△ABP≌△ADP，由全等三角形对应边相等可得AB=AD，BP=PD，得出AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；即可得出AB的长．

解答 解：∵BQ平分∠ABC，
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBQ=∠C，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
过点P作PD∥BQ交CQ于点D，如图所示：
则∠CPD=∠CBQ，∠ADP=∠AQB，
∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C，
∴∠ADP=2∠C，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABP与△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ADP}&{\;}\\{∠BAP=∠CAP}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；
∵△ABQ的周长为20，BP=4，
∴AB+BQ+AQ=AB+BP+AB=20，
∴AB=8；
故答案为：8．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、三角形的外角性质；本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．