Question

13．已知，如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB=DC，∠BAD=∠BDA，求证：AC=2AE．

Answer 1

分析 取AB的中点F，连接DF．证明DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DF∥AC且DF=$\frac{1}{2}$AC，由SAS可证△ADF≌△ADE，再根据全等三角形的性质即可得出结论．

解答 证明：取AB的中点F，连接DF．如图所示：
∵∠ADB=∠BAD，
∴BD=AB，
又∵CD=AB，
∴CD=BD，即D为BC中点，
∵F是AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC且DF=$\frac{1}{2}$AC，
又∵AB=BD，E、F分别为BD、AB中线，
∴DE=AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠ADB=∠BAD，
∴∠FAD=∠EDA，
在△ADF与△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DA}&{\;}\\{∠FAD=∠EDA}&{\;}\\{DE=AF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△DAE（SAS），
∴DF=AE，
∴AC=2DF=2AE．

点评 考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理；通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键解题的关键．