Question

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，经过C、D两点的圆交AC、BC于点E、F，且AE=CF．当圆变化时，点C到线段EF的最大距离为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连结CD、DE、DF，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠A=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD，∠DCB=45°，易证得△ADE≌△CDF，则∠ADE=∠CDF，DE=DF，再判断△EDF为等腰直角三角形，得到DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，由于S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DE²=$\frac{1}{4}$EF²，所以当EF越小，S_△DEF越小，加上S_△CEF+S_△EDF=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，则当EF越小，S_△DEF越小，而S_△CEF越大，此时点C到EF的距离越大，即EF最小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h，根据圆周角定理，由∠ECF=90°得EF为⊙O的直径，所以当⊙O的直径等于CD时，⊙O的直径最小，即EF最小，此时可判断四边形CEDF为正方形，根据正方形和等腰直角三角形的性质易得h=$\sqrt{2}$．

解答 解：连结CD、DE、DF，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠DCB=45°，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠ADE=∠CDF，DE=DF，
∵∠ADF+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•DE²=$\frac{1}{4}$EF²，
当EF越小，S_△DEF越小，
∵S_△CEF+S_△EDF=S_△CDE+S_△CDF=S_△CED+S_△ADE=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=4，
∴当EF越小，S_△DEF越小，而S_△CEF越大，此时点C到EF的距离越大，
即EF最小时，点C到EF的距离最大，设点C到EF的最大距离为h，
∵∠ECF=90°，
∴EF为⊙O的直径，
∴当⊙O的直径等于CD时，⊙O的直径最小，即EF最小，此时∠DEC=∠DFC=90°，则四边形CEDF为正方形，h=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
即点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质；会运用三角形全等解决线段相等的问题；记住三角形的面积公式．