Question

3．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，BC上．已知点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称．
（1）求∠DEF-∠AEB的值；
（2）tan∠ADB的值；
（3）关于点G与△BEF，你能发现什么结论？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质可得AB=AE，然后求出∠ABE=∠AEB=45°，再根据轴对称的性质可得EB=BF，BD平分∠EBF，然后求出∠FBE=45°，根据等腰三角形的两底角相等求出∠BEF=∠BFE=67.5°，再求出∠DEF=67.5°，然后代入数据计算即可得解；
（2）求出EB=ED，设AB=x，表示出AE、DE，然后求出AD，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）根据三角形的外心的定义解答．

解答 解：（1）∵点E与点B关于AC对称，
∴AB=AE，
∵AB⊥AD，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵点E与点F关于BD对称，
∴EB=BF，BD平分∠EBF，
∵AD∥BC，AB⊥AD，
∴AB⊥BF，
∴∠FBE=45°，
∴∠BEF=∠BFE=67.5°，
∴∠DEF=67.5°，
∴∠DEF-∠AEB=22.5°；

（2）由（1）得∠EDB=22.5°，
∴EB=ED，
设AB=x，则AE=x，BE=DE=$\sqrt{2}$x，
∴AD=AE+DE=x+$\sqrt{2}$x，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{x}{\sqrt{2}x+x}$=$\sqrt{2}$-1；

（3）∵BD，AC分别是EF，BE的垂直平分线，
∴G是△BEF外接圆的圆心．

点评 本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图，用AB表示出AD是解题的关键．