Question

如图，正方形OABC的顶点O的坐标原点，点A的坐标为（4，3），点B的横坐标为1．
（1）求直线OA和AB的解析式；
（2）现有动点P、O分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点O沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．问当k为可值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）应用勾股定理先求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得．
（2）有两种情况：①Q在OA上，则CQ=PQ时能构成菱形，根据题意列出2k=4即可求得；②Q点在OC上，则PC=QC时才能构成菱形，根据题意列出2k=8即可求得；

解答：解；（1）∵A（4，3），
∴OA=

32+42

=5，
设直线OA的解析式为y=kx，
∴3=4k，解得k=

3

4

，
∴直线OA的解析式y=

3

4

x，
∵AB=OA=5，B点的横坐标为1，设B（1，n），
∴AB²=（4-1）²+（n-3）²，即5²=（4-1）²+（n-3）²，
解得：n=7，n=-1（舍去），
∴B（1，7），
∵四边形OABC 是正方形，
∴设直线AB的解析式为y=-

4

3

x+b，
∴7═-

4

3

×1+b，解得b=

25

3

，
∴直线AB的解析式为y=-

4

3

x+

25

3

；
（2）有两种情况：
①Q在OA上，则CQ=PQ时能构成菱形，
∵PC=2，
∴AQ=4时才能构成CQ=PQ的等腰三角形，
∴2k=4，解得k=2，
②Q点在OC上，∵∠PCQ是直角，
∴只有沿这PQ边对折才能构成菱形，且PC=QC，
∵PC=2，
∴QC=2，
∴2k=OA+OC-QC=5+5-2=8，
∴k=4，
∴当k=2或k=4时将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．

点评：本题看出来待定系数法求解析式，应用勾股定理求线段的长，菱形的性质等，分类讨论是解本题的关键．