题目内容
已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
∴AF=FC，
设AF=xcm，
则CF=xcm，BF=（8-x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得x=5，即AF=5cm；
（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=
．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=
秒．
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
|
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
∴AF=FC，
设AF=xcm，
则CF=xcm，BF=（8-x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得x=5，即AF=5cm；
（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=
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∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=
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点评：本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，在解（3）时判断出以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q的位置是解题的关键．
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