Question

14．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}；\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}；\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}；…$．以此类推！将以上面前三个等式两边分别相加，得$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$；
（1）猜想并写出：$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）根据以上规律计算：
①$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2014×2015}+\frac{1}{2015×2016}$；
②$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$

点评 此题考查了分式的加减法，弄清拆项法则是解本题的关键．